Math

ระบบสมการ

1.

ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการดีกรีสอง และสมการเชิงเส้น

ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการดีกรีสอง และสมการเชิงเส้น มีรูปทั่วไปดังนี้

AX

PX + 2Y + R = 0

2 + BY2 + CXY + DX + EY + F = 0

เมื่อ

และ

พาราโบลา วงรี หรือไฮเพอโบลา

ตัวอย่างของสมการเชิงเส้นมีดังนี้

x และ y เป็นตัวแปร และ A, B, C, D, E, F, P, Q และ R เป็นจำนวนจริง โดยที่ A, B และ C ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกันP, Q ก็ไม่เป็นศูนย์พร้อมกันด้วย โดยที่สมการเชิงเส้นจะมีกราฟเป็นเส้นตรง ส่วนสมการดีกรีสองจะเป็นกราฟรูปวงกลม

x + 2y = 0

3x – y = 12

12x = 3y

ตัวอย่างของสมการกำลังสองมีดังนี้

เป็นต้น

3x

–x

2 + 2y2 = –102 + xy + y2 = –1 เป็นต้น

ถามว่า

เราหาคำตอบของระบบสมการเพื่ออะไรครับ ?

ตอบว่า

มีสองจุด หรือไม่มีเลยก็ได้

คำตอบของระบบสมการที่เราหานั้น คือจุดตัดของกราฟเส้นตรงกับกราฟเส้นโค้ง ซึ่งจุดตัดหรือคำตอบนี้ อาจมีเพียงจุดเดียว

ขั้นตอนการหาคำตอบของระบบสมการ

มีดังนี้

1)

2)

เพียงตัวเดียว

ทำสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งให้เท่ากัน โดยใช้หลักการของ ค.ร.น.นำสมการทั้งสองมาลบหรือบวกกัน เพื่อกำจัดตัวแปรร่วมตัวใดตัวหนึ่งทิ้งไป ทำให้ได้สมการใหม่ที่เหลือตัวแปร

3)

เลขไม่เยอะ

แก้สมการใหม่เพื่อหาค่าตัวแปรนั้น ๆ แล้วแทนค่าตัวแปรที่ได้ในสมการตั้งต้นสมการใดสมการหนึ่ง (ที่มีรูปแบบง่าย ๆ) เพื่อหาค่าตัวแปรอีกตัวหนึ่ง

4)

เมื่อหาค่าตัวแปรทั้งสองได้แล้ว อย่าลืมตรวจคำตอบด้วยนะครับ

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

–

2 –

ลองมาดูตัวอย่างการแก้ปัญหาโจทย์ต่อไปนี้ครับ

ตัวอย่างที่

1 จงแก้ระบบสมการ x2 + y2 = 25 ------- 􀁣

x + y = 1 -------

􀁤

วิธีทำ

จากสมการที่ 􀁤 x + y = 1

หาค่า

x ได้ x = 1 – y ------- 􀁥

แทนค่า

1 – 2y + y

2 y

2 y

(2y + 6) (y – 4) = 0

y =

x จาก 􀁥 ใน 􀁣(1 – y)2 + y2 = 252 + y2 = 252–2y+1–25 = 02 – 2y – 24 = 0

2

−

6

, 4

หรือ –3, 4

แล้วแทนค่า

y = –3 กับ 4 ใน 􀁤

จะได้

x = 4

x – (–3) = 1 หรือ x + 4 = 1หรือ x = –3

ดังนั้น คำตอบของระบบสมการ คือ พิกัด

(4, –3) และ (–3, 4) ตอบ

(–3, 4)

(4, –3)

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

–

3 –

ตัวอย่างที่

2 จงแก้ระบบสมการ x – 2y = 8 ------- 􀁣

xy = 24 -------

􀁤

วิธีทำ

หาค่า x จากสมการที่ 􀁣 x = 2y+8 ------- 􀁥

แทนค่า

x จาก 􀁥 ใน 􀁤 (2y + 8) y = 24

เพื่อหาค่า

(2y + 12) (y – 2) = 0

y = 2,

y 2y2 + 8 – 24 = 0

2

−

12

หรือ

2, –6

แทนค่า

y = 2 และ –6 ใน 􀁣 เพื่อหาค่า x

จะได้

x = 8 + 4

x = 12

x – 2(2) = 8 หรือ x – 26(–6) = 8หรือ x = 8 –12หรือ x = –4

ดังนั้น คำตอบของระบบสมการ คือ พิกัด

(12, 2) และ (–4, –6) ตอบ

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

–

4 –

ตัวอย่างที่

3 จงแก้ระบบสมการ 2x2 – 2xy + y2 = 10 ------- 􀁣

2x – y + 2 = 0 -------

􀁤

วิธีทำ

หาค่า x จากสมการที่ 􀁤 x =

2

2

2

y

2

y

− = 1− ------- 􀁥

แทนค่า

x จาก 􀁥 ใน 􀁣 เพื่อหาค่า y = 2

2

1

2

y

⎜⎝ ⎛

−

⎟⎠ ⎞– 2 1 y y2

2

y

⎜⎝ ⎛

−

= 2

⎤

⎢

⎣

⎡

+ ⎟⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

− ⎟⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

+ ⎟⎠ ⎞= 10⎥⎦

2

2

(1) 1

2

y

2

y

2

y

⎜⎝ ⎛

– 2y 2y y 10 02 = − + + ⎟⎠ ⎞

= 2

4

y

y 1 y 2y y 10 02 2 2

⎟− − + − =

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ − +

=

2

y

2y 2 2y 10 02

− + + − =

=

2

y

82

−

y =

= 08(2)

y = ±4

แทนค่า

y = ±4 ใน 􀁤 เพื่อหาค่า x

จะได้

2x - 2 = 0

x =

2x – (4) + 2 = 0 หรือ 2x – (-4) +2 = 0หรือ 2x + 6 = 0

2

2

= 1 หรือ x =

2

−

6

= -3

ดังนั้น คำตอบของระบบสมการ คือ พิกัด (1, 4) และ (–3, –4) ตอ